Question

已知y=f（x）為偶函數(shù)，當x∈（0，2）時，f（x）=lnx-ax（a＞

1

2

），當x∈（-2，0）時，f（x）的最大值為-1，則a的值等于

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先判斷x∈（0，2）時，f（x）=lnx-ax（a＞

1

2

）的單調(diào)性以及何時取得最大值，有偶函數(shù)的性質(zhì)，知x∈（0，2）時，f（x）的最大值也為-1，即可求得a．

解答： 解：因為x∈（0，2）時，f（x）=lnx-ax（a＞

1

2

），
所以f′（x）=

1

x

-a，
因為x∈（0，2），a＞

1

2

，
∴f′（x）=0，x=

1

a

，
當x＞

1

a

時，f′（x）＜0；當0＜x＜

1

a

時，f′（x）＞0，
故x=

1

a

，f（x）取最大值，
故x∈（0，2）時，f（x）=lnx-ax（a＞

1

2

）是增函數(shù)，
由于y=f（x）為偶函數(shù)，當x∈（-2，0）時，f（x）的最大值為-1，
所以f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-1，
解得：a=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、但是的單調(diào)性，可用導(dǎo)數(shù)進行判斷求其最值，屬于中檔題．