Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx，其中常數(shù)a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)f（x），H（x），g（x）在公共定義域D上，滿足f（x）＜H（x）＜g（x），那么就稱H（x） 為f（x）與g（x）的“和諧函數(shù)”．設(shè)g（x）=x²-4x，求證：當(dāng)2＜a＜

5

2

時，在區(qū)間（0，2]上，函數(shù)f（x）與g（x）的“和諧函數(shù)”有無窮多個．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x）=

(x-2)(ax-1)

x

令f′（x）=0，則x₁=2，x₂=

1

a

，討論①當(dāng)0＜a＜

1

2

時，②當(dāng)a=

1

2

時，③當(dāng)a＞

1

2

時的情況，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=（1-

1

2

a）x²+（2a-3）x-2lnx，x∈（0，2]，求出h′（x）=

(x-2)[(2-a)x+1]

x

，從而得出h（x）_min，設(shè)H（x）=f（x）+（2-2ln2）λ（0＜λ＜1），則f（x）＜H（x）＜g（x），所以在區(qū)間（0，2]上，函數(shù)f（x）與g（x）的“和諧函數(shù)”有無窮多．

解答： 解：（1）f′（x）=

(x-2)(ax-1)

x

（x＞0，常數(shù)a＞0）
令f′（x）=0，則x₁=2，x₂=

1

a

，
①當(dāng)0＜a＜

1

2

時，

1

a

＞2，
在區(qū)間（0，2）和（

1

a

，+∞）上，f′（x）＞0；在區(qū)間（2，

1

a

）上f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和（

1

a

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，

1

a

），
②當(dāng)a=

1

2

時，f′x）=

(x-2)2

2x

，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），
③當(dāng)a＞

1

2

時，0＜

1

a

＜2，
在區(qū)間（0，

1

a

）和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在區(qū)間（

1

a

，2）上f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

1

a

）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

a

，2），
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=（1-

1

2

a）x²+（2a-3）x-2lnx，x∈（0，2]，
h′（x）=

(x-2)[(2-a)x+1]

x

，
令h′（x）=0，則x₁=2，x₂=

1

a-2

，
因為2＜a＜

5

2

，所以x₂＞x₁，且2-a＜0，
從而在區(qū)間（0，2]上，h′（x）＜0，即h（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，
所以h（x）_min=h（2）=2a-2-2ln2，
又2＜a＜

5

2

，所以2a-2-2ln2＞2-2ln2＞0，即h（x）_min＞0，
設(shè)H（x）=f（x）+（2-2ln2）λ（0＜λ＜1），則f（x）＜H（x）＜g（x），
所以在區(qū)間（0，2]上，函數(shù)f（x）與g（x）的“和諧函數(shù)”有無窮多個．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道綜合題．