Question

已知f（x）=ax³+x²+cx是定義在R上的函數(shù)，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范圍；
（III）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在一點(diǎn)M（x₀，y₀），使得曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的切線的斜率為3，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）對函數(shù)f（x）=ax³+x²+cx求導(dǎo)數(shù)，得，f′（x）=3ax²+2x+c
∵f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在x=0處有極小值，
∴f′（0）=0，即3a×0²+2×0+c=0
∴c=0
（II）∵f（x）=ax³+x²，∴f′（x）=3ax²+2x
令f′（x）=0，解得
∵f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[4，5]上是減函數(shù)
即f′（x）在[0，2]上大于或等于零，在[4，5]上小于或等于零
∴x₂∈[2，4]
即
∴
∴
（III）假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的切線的斜率為3，
則f′（x₀）=3，即3ax₀²+2x₀-3=0，其中△=4+36a
∵
∴-12≤36a≤-6
∴△＜0∴3ax₀²+2x₀-3=0無實(shí)數(shù)根
∴f′（x₀）=3不成立
∴不存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的切線的斜率為3．
分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），由f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)知x=0為函數(shù)的一個極值點(diǎn)，由此列方程f′（0）=0即可解得c的值
（II）將函數(shù)f（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f′（x）的零點(diǎn)分布問題，f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[4，5]上是減函數(shù)，說明f′（x）的正零點(diǎn)在[2，4]內(nèi)，解不等式即可
（III）假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的切線的斜率為3，則f′（x₀）=3有解，而根據(jù)（II）問的計(jì)算，此方程的判別式小于零，故而無解，故此點(diǎn)不存在
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用，函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象性質(zhì)間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識