【題目】如圖,在多面體中,四邊形是菱形,⊥平面.

(1)求證:平面⊥平面

(2)若設(shè)與平面所成夾角為,且,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

分析:(1)根據(jù)已知可得,由線面垂直判定定理可證平面,再由面面垂直判定定理證得平面⊥平面.

(2)解法一:向量法,設(shè),以為原點(diǎn),作,以的方向分別為軸,軸的正方向,建空間直角坐標(biāo)系,求得的坐標(biāo),運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和向量的垂直條件,求得平面和平面的的法向量,再由向量的夾角公式,計算即可得到所求的值.

解法二:三垂線法,連接ACBDO,連接EO、FO,過點(diǎn)FFMECM,連OM,由已知可以證明FO⊥面AEC,FMO即為二面角A-EC-F的平面角,通過菱形的性質(zhì)、勾股定理和等面積法求得cosFMO,得到答案.

解法三:射影面積法,連接ACBDO,連接EO、FO,根據(jù)已知條件計算,,二面角的余弦值cosθ=,即可求得答案.

詳解:(1)證明:連結(jié)

四邊形是菱形,,

⊥平面,平面

,

,平面

平面,

平面,平面⊥平面.

(2)解:解法一:設(shè) ,

四邊形是菱形,,

、為等邊三角形, ,

的中點(diǎn), ,

⊥平面,

中有,,,

為原點(diǎn),作,以的方向分別為軸,軸的正方向,建空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則

所以,

設(shè)平面的法向量為

設(shè),解得.

設(shè)平面的法向量為

設(shè),解得.

設(shè)二面角的為,則

結(jié)合圖可知,二面角的余弦值為.

解法二:

EB⊥面ABCD,

∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角

RtEAB中,cosEAB= AB=2,AE=

EB=DF=1

連接ACBDO,連接EO、FO

菱形ABCD中,∠BAD=60°,BD=AB=2

矩形BEFD中,FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,FOEO

AC⊥面BEFD, FOBEFD,FOAC,

AC∩EO=O,AC、EOAEC,FO⊥面AEC

ECAEC,FOEC

過點(diǎn)FFMECM,連OM,

FOEC, FM∩FO=F, FM、FOFMO,EC⊥面FMO

OMFMO,ECMO

∴∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角

AC⊥面BEFD, EOBEFD,ACEO

OAC的中點(diǎn),∴EC=AE=

RtOEC中,OC=, EC=,OE=,OM =

RtOFM中,OF=, OM =,FM =

cosFMO=

即二面角A-EC-F的余弦值為

解法三:

連接ACBDO,連接EO、FO

菱形ABCD中,∠BAD=60°,BD=AB=2

矩形BEFD中,FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,FOEO

AC⊥面BEFD, FOBEFD,FOAC,

AC∩EO=O,AC、EOAEC,FO⊥面AEC

又∵EB⊥面ABCD,

∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角

RtEAB中,cosEAB= AB=2,AE=

EB=DF=1

RtEBC、RtFDC中可得FC=EC=

EFC中,FC=EC=,EF=2,

AEC, AE=EC=,OAC中點(diǎn),∴OEOC

RtOEC,OE=, OC=,

設(shè)EFC、OECEC邊上的高分別為h、m,

二面角A-EC-F的平面角設(shè)為θ,

cosθ=

即二面角A-EC-F的余弦值為.

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