【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，不等式有且只有兩個整數(shù)解，求的取值范圍.

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

（2）

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)a的不同范圍，分別求出導(dǎo)函數(shù)何時大于零，何時小于零，這樣就可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性。

（2）不等式 可以化成，構(gòu)造函數(shù)，

求導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，結(jié)合條件分別討論，三種情況下，可以求出滿足條件的a的取值范圍。

（1）函數(shù)的定義域為

② 當(dāng)時， 函數(shù)在上是減函數(shù)；

②當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減。

③當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增。

綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

（2）

令，求導(dǎo)得 令

所以是R上的增函數(shù)，而

說明函數(shù)在R上存在唯一零點

此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

易證，

當(dāng)時， ，當(dāng)時，

（1）若時，，此時有無窮多個整數(shù)解，不符合題意；

（2）若時，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以時， ，所以無整數(shù)解，不符合題意；

（3）當(dāng)，即此時， 故0，1是的兩個整數(shù)解，

又只有兩個正整數(shù)解，因此 ，解得所以

綜上所述的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式:

具體過程如下：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O，以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B.

則

由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有：

設(shè)的夾角為θ，則

另一方面，由圖3.1—3（1）可知，；由圖可知，

.于是.

所以，也有，

所以，對于任意角有：（）

此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作.

有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值了.

閱讀以上材料，利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：

（1）判斷是否正確？（不需要證明）

（2）證明：

（3）利用以上結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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【題目】已知f（x）＝x3﹣3x，過點P（2，2）作函數(shù)y＝f（x）圖象的切線，則切線方程為_____

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【題目】某市有一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積為立方米，且分上下兩層，其中上層是半徑為（單位：米）的半球體，下層是半徑為米，高為米的圓柱體（如圖）.經(jīng)測算，上層半球體部分每平方米建造費用為2千元，下方圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三個部分平均每平方米建造費用為3千元，設(shè)每座帳篷的建造費用為千元.

參考公式：球的體積，球的表面積，其中為球的半徑.

（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)半徑為何值時，每座帳篷的建造費用最小，并求出最小值.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為，且經(jīng)過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）動直線與橢圓C相交于點M，N，橢圓C的左右頂點為,直線與相交于點，證明點在定直線上，并求出定直線的方程.

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【題目】某廠每月生產(chǎn)一種投影儀的固定成本為萬元，但每生產(chǎn)臺，需要加可變成本（即另增加投入）萬元，市場對此產(chǎn)品的月需求量為臺，銷售的收入函數(shù)為（萬元）且，其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）．

(1)求月銷售利潤（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量(百臺)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，銷售利潤可達到最大？最大利潤為多少？

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【題目】三角形面積為S=(a+b+c)r,a,b,c為三角形三邊長,r為三角形內(nèi)切圓半徑,利用類比推理,可以得出四面體的體積為 ( )

A. V=abc B. V=Sh

C. V=(ab+bc+ac)·h(h為四面體的高) D. V=(S1+S2+S3+S4)·r(其中S1,S2,S3,S4分別為四面體四個面的面積,r為四面體內(nèi)切球的半徑,設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個面的距離都是r)

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【題目】某高校共有學(xué)生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)．

(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？

(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率．

(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”．

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設(shè)直線l經(jīng)過點且與橢圓C交于不同的兩點M，N試問：在x軸上是否存在點Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．

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