Question

19．（Ⅰ）已知sinθ，cosθ是方程4x²-4mx+2m-1=0的兩個(gè)根，$\frac{3π}{2}$＜θ＜2π，求角θ．
（Ⅱ）已知一扇形的中心角為α，所在圓的半徑為R，若α=60°，R=10cm，求扇形的弧與弦所圍成的弓形的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以一元二次方程為載體，通過根與系數(shù)的關(guān)系，得到正弦和余弦之間的關(guān)系，又由正弦和余弦本身有平方和為1的關(guān)系，代入求解，注意角是第四象限角，根據(jù)角的位置，得到結(jié)果．
（Ⅱ）直接求出扇形的面積，求出三角形的面積，然后求出扇形的弧所在的弓形面積；

解答 解：（Ⅰ）∵sinθ+cosθ=m，sinθcosθ=$\frac{2m-1}{4}$，
且m²-2m+1≥0
代入（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ，
得m=$\frac{1±\sqrt{3}}{2}$，又$\frac{3π}{2}$＜θ＜2π，
∴sinθ•cosθ=$\frac{2m-1}{4}$＜0，sinθ+cosθ=m=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
∴sinθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$，又∵$\frac{3π}{2}$＜θ＜2π，
∴θ=$\frac{5π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)弧長為l，弓形面積為S_弓，
∵α=60°=$\frac{π}{3}$，R=10，∴l(xiāng)=$\frac{10}{3}$π（cm），
S_弓=S_扇-S_△=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$π×10-$\frac{1}{2}$×10²×sin60°
=50（$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（cm²）．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是一道難度稍大的題，首先是需要自己根據(jù)條件寫出關(guān)于正弦和余弦的關(guān)系式，然后根據(jù)正弦和余弦本身具有的關(guān)系和角的位置求出結(jié)果．屬于中檔題．