Question

若對一切實數(shù)x，不等式（a²-1）x²+（a-1）x+

2

a

+1≥0都成立，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題需要討論：
①當(dāng)a²-1=0時，得a=1或-1，分別代入原不等式驗證即可；
②當(dāng)a²-1≠0時，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，
只需該不等式對應(yīng)的函數(shù)圖象開口向上，且都在x軸上方或與x軸相切，據(jù)此可列出關(guān)于a的不等式組求解．

解答： 解：由題意得：
①a²-1=0即a=1或-1時，
將a=1代入原式得3≥0，顯然恒成立，故a=1符合題意，
將a=-1代入原式解得x≤-

1

2

．顯然不符題意．
②a²-1≠0時，若對一切實數(shù)x，不等式（a²-1）x²+（a-1）x+

2

a

+1≥0都成立，
只需f（x）=（a²-1）x²+（a-1）x+

2

a

+1的圖象在x軸上方或與x軸相切即可，
據(jù)此得a²-1＞0①且 （a-1）²-4（a²-1）（

2

a

+1）≤0②即可，
由①得a＞1或a＜-1③；
由②得（a-1）（3a²+11a+8）≥0，解得-

8

3

≤a≤-1或a≥1④．
聯(lián)立③④得a＞1或-

8

3

≤a＜-1．
故答案為：a≥1或-

8

3

≤a＜-1．

點評：本題考查了運用二次函數(shù)的圖象解決二次不等式恒成立的問題，因為是在整個實數(shù)集上恒成立，所以一般會用到判別式求解，要注意體會圖象在解此類題時的作用．