Question

若函數(shù)f（x）滿足以下兩條規(guī)則：
①在區(qū)間D上的任何取值都有意義；
②對(duì)于區(qū)間D上的任意n個(gè)值x₁，x₂，x₃，…，x_n，總滿足

f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)

n

≥f（

x1+x2+x3+…+xn

n

）．
我們稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的凹函數(shù)．那么，下列函數(shù)中是區(qū)間[0，

π

2

]上的凹函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
（1）f（x）=sin x；（2）f（x）=-cos x；（3）f（x）=tan（x+

π

4

）；（4）f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象以及凹函數(shù)的定義和圖象進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：要判斷是不是凹函數(shù)，先明確凹函數(shù)的定義．
畫(huà)圖象易知（1）f（x）=sin x不是區(qū)間[0，

π

2

]上的凹函數(shù)；
當(dāng)x=

π

4

∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）=tan（x+

π

4

）不存在，所以不滿足①，
（2）f（x）=-cos x是區(qū)間[0，

π

2

]上的凹函數(shù)；
（3）f（x）=tan（x+

π

4

）不是區(qū)間[0，

π

2

]上的凹函數(shù)；
（4）取特殊值x₁=0，x₂=

π

2

，則

f(x1)+f(x2)

2

=

3 sin(- π 3 )+ 3 sin(π- π 3 )

2

=0，f（

x1+x2

2

）=

3

cos

π

3

=

3

2

，
所以

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

），所以函數(shù)f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）不滿足②，故不是區(qū)間[0，

π

2

]上的凹函數(shù)．綜上知，正確的是選A．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的判斷，根據(jù)凹函數(shù)的定義和圖象是解決本題的關(guān)鍵．