Question

【題目】如圖所示，圓的直徑，為圓周上一點，，平面垂直圓所在平面，直線與圓所在平面所成角為，.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先證明平面，得出，又，則平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過計算法向量所成角的余弦值求出二面角的余弦值．

（1）∵是圓的直徑，為圓周上一點，

∴，又平面平面，平面平面，

∴平面，∴，

又，，平面，平面，

∴平面；

（2）過作于，則平面，

過作交于，

∴為直線與平面所成的角，則，

由題意可得，，

∵，，∴，

∴，，

∴，，，

以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

從而，，

設(shè)平面的法向量，則得，

令，從而，而平面的法向量為，

故，

由圖可知，二面角的平面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．