Question

在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，DB＝BC，DB⊥AC，點M是棱BB₁上一點．

(1)求證：B₁D₁∥平面A₁BD；
(2)求證：MD⊥AC；
(3)試確定點M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.

Answer 1

(1)見解析. (2)見解析.(3)當(dāng)點M為棱BB₁的中點時，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.

解析試題分析：(1)由直四棱柱概念，得BB₁//DD₁，
得到四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，從而B₁D₁∥BD，由直線與平面平行的判定定理即得證.
(2)注意到BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，推出BB₁⊥AC.
又BD⊥AC，即得AC⊥平面BB₁D₁D.而MD?平面BB₁D₁D，故得證.
(3)分析預(yù)見當(dāng)點M為棱BB₁的中點時，符合題意.此時取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM，證得BN⊥DC.又DC是平面ABCD與平面DCC₁D₁的交線，而平面ABCD⊥平面DCC₁D₁，推出BN⊥平面DCC₁D₁.又可證得，O是NN₁的中點，由四邊形BMON是平行四邊形，得出OM⊥平面CC₁D₁D，得證.
試題解析：(1)由直四棱柱概念，得BB₁//DD₁，
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，∴B₁D₁∥BD.
而BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，∴B₁D₁∥平面A₁BD.
(2)∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB₁⊥AC.
又∵BD⊥AC，且BD∩BB₁＝B，∴AC⊥平面BB₁D₁D.
而MD?平面BB₁D₁D，∴MD⊥AC.

(3)當(dāng)點M為棱BB₁的中點時，取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM，如圖所示．
∵N是DC的中點，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD與平面DCC₁D₁的交線，而平面ABCD⊥平面DCC₁D₁，∴BN⊥平面DCC₁D₁.
又可證得，O是NN₁的中點，∴BM∥ON且BM=ON，即四邊形BMON是平行四邊形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC₁D₁D，因為OM?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.
考點：線面平行的判定定理，線面垂直的判定及性質(zhì)，面面垂直的判定，四棱柱的幾何特征.