【題目】已知為坐標(biāo)原點,橢圓:的離心率為,直線:交橢圓于,兩點,,且點在橢圓上,當(dāng)時,.
(1)求橢圓方程;
(2)試探究四邊形的面積是否為定值,若是,求出此定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)點差法得,解得M坐標(biāo),代入橢圓方程,與離心率聯(lián)立方程組解得(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達定理與弦長公式、面積公式得四邊形的面積.
解:(1)由,,故橢圓方程可化為,
設(shè),,
則,,
兩式相減整理得,
當(dāng)時,,
解得,
將與聯(lián)立,
解得中點坐標(biāo)為,
故代入橢圓方程,
整理得,
解得,故橢圓的方程為.
(2)設(shè)中點為,,,
把代入橢圓,
整理得,
,,,
所以,.
設(shè),
則,,
代入橢圓,得,
.
①當(dāng)時,設(shè)交軸于點,則.
.
②當(dāng)時,的面積為,
故面積為定值.
因為,
所以四邊形面積為定值3.
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【題目】已知圓的圓心坐標(biāo)為,且該圓經(jīng)過點.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點也在圓上,且弦長為8,求直線的方程;
(3)直線交圓于,兩點,若直線,的斜率之積為2,求證:直線過一個定點,并求出該定點坐標(biāo).
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【題目】關(guān)于曲線,有如下結(jié)論:
①曲線C關(guān)于原點對稱;
②曲線C關(guān)于直線x±y=0對稱;
③曲線C是封閉圖形,且封閉圖形的面積大于2π;
④曲線C不是封閉圖形,且它與圓x2+y2=2無公共點;
⑤曲線C與曲線有4個交點,這4點構(gòu)成正方形.其中所有正確結(jié)論的序號為__.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,點E、F分別是AB和PC的中點.
(1)求證:AB⊥平面PAD;
(2)求證:EF//平面PAD.
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【題目】設(shè)橢圓的離心率為,橢圓上一點到左右兩個焦點的距離之和是4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過的直線與橢圓交于兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的最大值。
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【題目】如圖,在三棱臺ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是邊長為2的等邊三角形,上、下底面的面積之比為1:4,側(cè)面A1ABB1⊥底面ABC,并且A1A=A1B1,∠AA1B=90°.
(1)平面A1C1B∩平面ABC=l,證明:A1C1∥l;
(2)求平面A1C1B與平面ABC所成二面角的正弦值.
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【題目】如圖①,在五邊形中,,,,,是以為斜邊的等腰直角三角形.現(xiàn)將沿折起,使平面平面,如圖②,記線段的中點為.
(1)求證:平面平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的大小.
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【題目】隨著智能手機的普及,使用手機上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘I畹囊徊糠郑芏嘞M者對手機流量的需求越來越大.某通信公司為了更好地滿足消費者對流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了人口規(guī)模相當(dāng)?shù)?/span>個城市采用不同的定價方案作為試點,經(jīng)過一個月的統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)該流量包的定價: (單位:元/月)和購買總?cè)藬?shù)(單位:萬人)的關(guān)系如表:
定價x(元/月) | 20 | 30 | 50 | 60 |
年輕人(40歲以下) | 10 | 15 | 7 | 8 |
中老年人(40歲以及40歲以上) | 20 | 15 | 3 | 2 |
購買總?cè)藬?shù)y(萬人) | 30 | 30 | 10 | 10 |
(Ⅰ)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),請用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,求出關(guān)于的回歸方程;并估計元/月的流量包將有多少人購買?
(Ⅱ)若把元/月以下(不包括元)的流量包稱為低價流量包,元以上(包括元)的流量包稱為高價流量包,試運用獨立性檢驗知識,填寫下面列聯(lián)表,并通過計算說明是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為購買人的年齡大小與流量包價格高低有關(guān)?
定價x(元/月) | 小于50元 | 大于或等于50元 | 總計 |
年輕人(40歲以下) | |||
中老年人(40歲以及40歲以上) | |||
總計 |
參考公式:其中
其中
參考數(shù)據(jù):
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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