Question

【題目】設(shè)f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值為m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)x≤﹣1時(shí)，f（x）=3+x≤2；
當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f（x）=﹣1﹣3x＜2；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．
故當(dāng)x=﹣1時(shí)，f（x）取得最大值m=2．
（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 時(shí)，等號(hào)成立．
此時(shí)，ab+bc取得最大值 =1
【解析】（Ⅰ）運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間，討論x的范圍，去絕對(duì)值，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），運(yùn)用重要不等式，可得最大值．
【考點(diǎn)精析】掌握基本不等式和絕對(duì)值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：；含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．