Question

12．已知函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，且y=f（x-2）的圖象關(guān)于點（2，0）成中心對稱．若不等式f（a+sinθ）+f（2+cos2θ）≥0 對任意θ∈R恒成立，則a的取值范圍是（-∞，-$\frac{25}{8}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，確定函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的有界性求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于點（2，0）成中心對稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）成中心對稱，
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
則不等式f（a+sinθ）+f（2+cos2θ）≥0 等價為f（a+sinθ）≥-f（2+cos2θ）=f（-2-cos2θ），
∵定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，
∴a+sinθ≤-2-cos2θ，
即a≤-sinθ-2-cos2θ，
設(shè)g（θ）=-sinθ-2-cos2θ，
則g（θ）=-sinθ-2-（1-2sin²θ）=2sin²θ-sinθ-3=2（sinθ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{25}{8}$，
∵-1≤sinθ≤1
∴當(dāng)sinθ=$\frac{1}{4}$時，g（θ）取得最小值-$\frac{25}{8}$，
∴要使a≤-sinθ-2-cos2θ恒成立，
∴a≤-$\frac{25}{8}$，
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{25}{8}$]，
故答案為：（-∞，-$\frac{25}{8}$]

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一定的難度．