Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且其“拐點(diǎn)”恰好就是該函數(shù)的對稱中心，設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=（　�。�

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2014
• D． 1007.5

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函數(shù)f（x）的對稱中心，得到f（1-x）+f（x）=2，即可得出．

解答 解：依題意，得：f′（x）=x²-x+3，
∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，1）
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=2015．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡計(jì)算能力，函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．