Question

5．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中點，動點P為正方體各面上的任一點．
①若動點P是AD的中點，則A₁E∥平面C₁CP；
②若動點P在底面ABCD內(nèi)，且PA₁=A₁E，則點P運動軌跡為一條線段；
③若動點P是CC₁的中點，則A₁E，DP為異面直線；
④若動點P與C點重合，則平面A₁EP截該正方體所得的截面的形狀為菱形．
以上為真命題的序號的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①④
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 當(dāng)動點P是AD的中點時，A₁E∥PC，推導(dǎo)出①正確；當(dāng)PA₁=A₁E時設(shè)正方體的棱長為1，求得PA₁=A₁E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AP=$\frac{1}{2}$，從而根據(jù)圓的定義以及題中條件得到點P運動形成的圖形為圓弧，推導(dǎo)出②錯誤；當(dāng)動點P是CC₁的中點時，A₁D∥EP，推導(dǎo)出③錯誤；動點P與C點重合，平面A₁EP即平面A₁EC截該正方體所得的截面的形狀為菱形，推導(dǎo)出④正確．

解答 解：在①中：當(dāng)動點P是AD的中點時，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中點，∴A₁E∥PC，
∵A₁E?平面C₁CP，PC?平面C₁CP，
∴A₁E∥平面C₁CP，故①正確；
在②中：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中點，動點P在底面ABCD內(nèi)，且PA₁=A₁E，設(shè)正方體的棱長為1，
則且PA₁=A₁E=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AP=$\sqrt{P{{A}_{1}}^{2}-A{{A}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故點P的軌跡是以A為圓心，以$\frac{1}{2}$為半徑的圓弧（圓位于底面ABCD內(nèi)的部分），故②錯誤；
在③中：當(dāng)動點P是CC₁的中點時，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中點，
∴A₁D∥EP，∴A₁E，DP為共面直線，故③錯誤；
在④中：動點P與C點重合，
平面A₁EP即平面A₁EC截該正方體所得的截面的形狀為菱形，故④正確．
故選：B．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要注意正方體的結(jié)構(gòu)特征和空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．