Question

6．設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若方程f（x）=0有三個不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得a=1的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極值，由題意可得極大值大于0，極小值小于0，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-2x，
當(dāng)x＞2或x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=0處取得極大值，且為0；
x=2處取得極小值，且為-$\frac{4}{3}$；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=x²-2ax+a²-1=（x-a+1）（x-a-1），
當(dāng)x＞a+1或x＜a-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)a-1＜x＜a+1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=a-1處取得極大值，且為$\frac{1}{3}$（a-1）²（a+2）；
x=a+1處取得極小值，且為$\frac{1}{3}$（a+1）²（a-2）．
方程f（x）=0有三個不等實(shí)數(shù)根，
即有$\frac{1}{3}$（a-1）²（a+2）＞0，且$\frac{1}{3}$（a+1）²（a-2）＜0，
解得-2＜a＜2，且a≠1，a≠-1．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．