Question

設(shè)h_a，h_b，h_c分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的高，且滿足3h_c²=h_ah_b，則角C的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：由已知得c²=3ab，a²+b²-2ab＜c²＜a²+b²+2ab，從而ab＜a²+b²＜5ab，進而得-

1

2

＜cosC＜1，由此能求出0°＜C＜120°．

解答： 解：∵h(yuǎn)_c=

2S

c

，h_a=

2S

a

，h_b=

2S

b

，
3h_c²=h_ah_b，
∴c²=3ab，
∵|a-b|＜c＜a+b，
∴a²+b²-2ab＜c²＜a²+b²+2ab，
a²+b²-2ab＜3ab＜a²+b²+2ab，
∴ab＜a²+b²＜5ab，
∴-

1

2

＜

1

2ab

（a²+b²-3ab）＜1，
∵cosC=

1

2ab

（a²+b²-c²）=

1

2ab

（a²+b²-3ab），
∴-

1

2

＜cosC＜1
∴0°＜C＜120°．
故答案為：（0°，120°）．

點評：本題考查角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運用．