Question

【題目】已知函數(shù).

(I) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(II) 當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ) 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，由，可得有兩個(gè)不同解，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立，令，求導(dǎo)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定，然后對(duì)分類討論，即可求得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵，函數(shù)定義域?yàn)椋?/span>

∴

令，由可知，

從而有兩個(gè)不同解.

令，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）由題意得，當(dāng)時(shí)，恒成立.

令，求導(dǎo)得，

設(shè)，則，

∵

∴

∴，

∴在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

∴

①當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，在上單調(diào)遞增，而.

∴恒成立，滿足題意.

②當(dāng)時(shí)，，而

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得.

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴有，

∴恒成立矛盾

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為