Question

12．若一個橢圓的內接正方形有兩邊分別經過它的兩個焦點，則此橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：橢圓的通徑長$\frac{2^{2}}{a}$，則$\frac{2^{2}}{a}$=2c，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，求得e²+e-1=0，根據橢圓的離心率取值范圍，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：假設橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由橢圓與正方形的對稱性可知：正方形的一邊長為橢圓焦距為2c，
另一邊長為通徑長$\frac{2^{2}}{a}$，
則$\frac{2^{2}}{a}$=2c，
∴a²-c²=ac，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，
整理得：e²+e-1=0，
解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由橢圓的離心率e＞0，
則e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故選C．

點評 本題考查橢圓的離心率的應用，考查橢圓的通徑長度，考查計算能力，屬于中檔題．