Question

已知函f（x）=2sin（x+

α

2

）cos（x+

α

2

）+2

3

cos²（x+

α

2

）-

3

為偶函數(shù)，且α∈[0，π]．
（Ⅰ）求α的值；
（Ⅱ）若x為三角形ABC的一個內(nèi)角，求滿足f（x）=1的x的值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用輔助角公式將函數(shù)f（x）進行化簡，即可求α的值；
（Ⅱ）若x為三角形ABC的一個內(nèi)角，解方程f（x）=1，即可求的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+

α

2

）cos（x+

α

2

）+2

3

cos²（x+

α

2

）-

3

=sin（2x+α）+

3

cos（2x+α）=2sin（2x+α+

π

3

），
若f（x）為偶函數(shù)，則α+

π

3

=kπ+

π

2

，
即α=kπ+

π

6

，k∈Z，
∵α∈[0，π]．
∴α=

π

6

；
（Ⅱ）∵α=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

+

π

3

）=2cos2x，
若x為三角形ABC的一個內(nèi)角，由f（x）=1得
cos2x=

1

2

，
則2x=

π

3

或2x=

5π

3

，
解得x=

π

6

或x=

5π

6

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的奇偶性求出α是解決本題的關鍵．