Question

5．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A₁B₁上，且滿足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$．
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，求證：直線PN⊥平面AMN；
（2）若平面PMN與平面AA₁C₁C所成的二面角為45°，試確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

分析 （1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．只要證明$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AN}$=0，$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AM}$=0，即可得出PN⊥AN，PN⊥AM，即可證明直線PN⊥平面AMN；
（2）設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），P（λ，0，1），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（3，2λ+1，2-2λ）．取平面的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），利用平面PMN與平面AA₁C₁C所成的二面角為45°，可得$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解出即可．

解答 （1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．N$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，P（1，0，1），M$（0，1，\frac{1}{2}）$．
$\overrightarrow{PN}$=$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-1）$，
∵$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AN}$=$-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$+0=0，$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AM}$=0+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$=0，
∴PN⊥AN，PN⊥AM，又AM∩AN=A，
∴直線PN⊥平面AMN；
（2）解：設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），P（λ，0，1），$\overrightarrow{MP}$=$（λ，-1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{NP}$=$（λ-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，1）$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{（λ-\frac{1}{2}）x-\frac{1}{2}y+z=0}\\{λx-y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（3，2λ+1，2-2λ）．
取平面的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），
∵平面PMN與平面AA₁C₁C所成的二面角為45°，
∴$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{9+（2λ+1）^{2}+4（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得λ=$-\frac{1}{2}$或λ=1．
∴點(diǎn)PB₁A₁的延長(zhǎng)線上，且|A₁P|=$\frac{1}{2}$，或點(diǎn)P與點(diǎn)B₁重合．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用法向量的夾角求空間角、線面垂直的判定與性質(zhì)定理，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．