Question

【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意都有成立（其中是常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求：

（2）當(dāng)時(shí)，

①若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式：

②設(shè)數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“數(shù)列”，如果，試問：是否存在數(shù)列為“數(shù)列”，使得對任意，都有，且，若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合；若不存在．說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②存在，首項(xiàng)所有取值構(gòu)成的集合為。

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，得到，進(jìn)而得到，兩式作差，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解．

（2）①時(shí)，，進(jìn)而得到，兩式作差，得到數(shù)列為等差數(shù)列，即可求解．

②確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用是“數(shù)列”，得到是偶數(shù)，從而可得，再利用條件，驗(yàn)證，即可求解數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值．

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，得到，

用代替，可得，

兩式相減，可得，即，即，

令，可得，解答，

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，

所以．

（2）①當(dāng)時(shí)，，

用代替，可得，

兩式相減可得，

用代替，可得，

兩式相減，可得，即，

即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，

因?yàn)?/span>，可得，

又由，解得

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

②由①知數(shù)列是等差數(shù)列，因?yàn)?/span>，所以，

又由是“封閉數(shù)列”，可得：

對任意，必存在，使得，

解得，所以為偶數(shù)，

又由已知，可得，所以，

（i）當(dāng)時(shí)，，

對于任意，都有，

（ii）當(dāng)時(shí)，，則，

則，

取，則，不合題意；

當(dāng)時(shí)，，則，

則，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，則，

所以，

又由，

所以或或或，

所以首項(xiàng)所有取值構(gòu)成的集合為．