Question

11．已知點(diǎn)A（0，3），B（3，0），如果拋物線(xiàn)y=x²-ax+a+1與線(xiàn)段AB（不包括線(xiàn)段端點(diǎn)A，B）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析 由題意可求線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)的解析式為y=-x+3（0≤x≤3），由拋物線(xiàn)與線(xiàn)段所在的線(xiàn)段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得方程x²+（1-a）x+a-2=0，在[0，3]上應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即f（x）=x²+（1-a）x+a-2在[0，3]與x軸上有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得不等式組，解出即可．

解答 解：設(shè)線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)的解析式為y=kx+b，
分別把（3，0），（0，3）代入可得，0=3k+b，3=b
解得k=-1，b=3，
∴線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)的解析式為y=-x+3（0≤x≤3），
聯(lián)立y=-x+3，y=x²-ax+a+1，得x²+（1-a）x+a-2=0，
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)與線(xiàn)段所在的線(xiàn)段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以方程x²+（1-a）x+a-2=0，在[0，3]上應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
令f（x）=x²+（1-a）x+a-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△{=（1-a）}^{2}-4（a-2）＞0}\\{0＜\frac{a-1}{2}＜3}\\{f（0）=a-2≥0}\\{f（3）=9+3（1-a）+a-2≥0}\end{array}\right.$，
∴2≤a≤5且a≠3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線(xiàn)與曲線(xiàn)的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題中要注意解題中的x的范圍限制．