1.據(jù)報道,我國森林覆蓋率逐年提高,現(xiàn)已達國土面積的14%,某林場去年底森林木材儲存量為a立方米,若森林以每年25%的增長率生長,計劃從今年起,每年冬天要砍伐的木材量為x立方米,為了實現(xiàn)經(jīng)過20年木材儲存量翻兩番的目標(biāo),問:每年砍伐的木材量x的最大值是多大?(。$\frac{5}{4}$)20≈87)

分析 通過設(shè)從今年起的每年年底木材儲存量組成的數(shù)列為{an},利用已知條件計算出數(shù)列前幾項的值并歸納出an=$(\frac{5}{4})^{n}$a+4[1-$(\frac{5}{4})^{n}$]x,進而計算可得結(jié)論.

解答 解:設(shè)從今年起的每年年底木材儲存量組成的數(shù)列為{an},
則a1=a(1+$\frac{25}{100}$)-x=$\frac{5}{4}$a-x,
a2=a1(1+$\frac{25}{100}$)-x=$(\frac{5}{4})^{2}$a-($\frac{5}{4}$+1)x,
a3=a2(1+$\frac{25}{100}$)-x=$(\frac{5}{4})^{3}$a-[$(\frac{5}{4})^{2}$+$\frac{5}{4}$+1]x,
以此類推可歸納出:an=an-1(1+$\frac{25}{100}$)-x
=$(\frac{5}{4})^{n}$a-[$({\frac{5}{4})}^{n-1}$+…+$(\frac{5}{4})^{3}$+$(\frac{5}{4})^{2}$+$\frac{5}{4}$+1]x
=$(\frac{5}{4})^{n}$a+4[1-$(\frac{5}{4})^{n}$]x,
根據(jù)題意可知:$({\frac{5}{4})}^{20}$a-4[$({\frac{5}{4})}^{20}$-1]x=4a,
又∵($\frac{5}{4}$)20≈87,
∴87a-4(87-1)x=4a,
解得:x=$\frac{87a-4a}{4×86}$=$\frac{83}{344}$a,
即每年砍伐的木材量的最大值是去年儲存量的$\frac{83}{344}$.

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題,考查運算求解能力、分析問題及解決問題的能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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