Question

13．已知f（x）為二次函數，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x-1）=4x．
（1）求f（2）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）判斷f（x）的奇偶性并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據f（x+1）-f（x-1）-4x令x=1，可得f（2）；
（2）根據二次函數的形式設出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應系數相等解得答案．
（3）根據二次函數的圖象和性質及函數奇偶性的定義，可得答案．

解答 解：（1）∵f（0）=1，f（x+1）-f（x-1）=4x．
當x=1時，f（2）-f（0）=f（2）-1=4．
∴f（2）=5；
（2）設f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=c=1，f（x+1）-f（x）=4x，
∴[a（x+1）²+b（x+1）+c]-[a（x-1）²+b（x-1）+c]=4ax+2b=4x，
∴4a=4，2b=0，解得a=1，b=0，
則函數f（x）的表達式為f（x）=x²+1；
（3）∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），
故f（x）為偶函數．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．