Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）^α的定義域是[-1，+∞），其中常數(shù)α＞0．（注：f′（x）=α（1+x）^α-1）
（1）若α＞1，求y=f（x）的過原點的切線方程．
（2）證明當α＞1時，對x∈（-1，0），恒有1+αx＜f（x）＜α（1+x）．
（3）當α=4時，求最大實數(shù)A，使不等式f（x）＞1+αx+Ax²對x＞0恒成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導數(shù)，分類討論，求出切線斜率，即可求y=f（x）的過原點的切線方程．
（2）令h（x）=f（x）-ax，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論；
（3）令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，則g（0）=0，且g′（x）=4（1+x）³-4-2Ax，顯然有g(shù)′（0）=0，且g″（x）=12[（1+x）²-

A

6

]，分類討論，可得結(jié)論．

解答： （1）解：f′（x）=α（1+x）^α-1．若切點為原點，由f′（0）=α知切線方程為y=αx+1；
若切點不是原點，設(shè)切點為P（x₀，（1+x₀）^α），由于f′（x₀）=α（1+x₀）^α-1，
故由切線過原點知[-1，+∞）內(nèi)有唯一的根x₀=

1

α-1

．
故切線方程為y=

αα

(α-1)α-1

x+(

α

α-1

)α．
綜上所述，所求切線有兩條，方程分別為y=αx+1和y=

αα

(α-1)α-1

x+(

α

α-1

)α．
（2）證明：當a＞1時，令h（x）=f（x）-ax，則h′（x）=α[（1+x）^α-1-1]，
故當x∈（-1，0）時恒有h′（x）＜0，即h（x）在[-1，0]單調(diào)遞減，故h（0）＜h（x）＜h（-1）對x∈（-1，0）恒成立．
又h（-1）=a，h（0）=1，故1＜h（x）＜a，即1+αx＜f（x）＜α（1+x）．
（3）解：令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，則g（0）=0，且g′（x）=4（1+x）³-4-2Ax，
顯然有g(shù)′（0）=0，且g″（x）=12[（1+x）²-

A

6

]
若A≤6，則

A

6

≤1，易知（1+x）²＞1對x＞0恒成立，從而對x＞0恒有g(shù)″（x）＞0，即g′（x）在[0，+∞）單調(diào)增，從而g′（x）＞g′（0）=0對x＞0恒成立，從而g（x）在[0，+∞）單調(diào)增，g（x）＞g（0）=0對x＞0恒成立．
若A＞6，則

A

6

＞1，存在x₀＞0使得（1+x）²＜

A

6

對x∈（0，x₀）恒成立，即g″（x）＜0對x∈（0，x₀）恒成立，
再由g′（0）=0知存在x1＞0，使得g′（x）＜0對x∈（0，x₁）恒成立，再由g（0）=0便知g（x）＞0不能對x＞0恒成立．
綜上所述，所求A的最大值是6．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，正確構(gòu)造函數(shù)，求導數(shù)是關(guān)鍵．