Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2，．
（1）求該四棱柱的側(cè)面積與體積；
（2）若E為線段A₁D的中點，求BE與平面ABCD所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）題目給出的是正四棱柱，給出了底面邊長和一條側(cè)面對角線的長，所以先求出正四棱柱的側(cè)棱長，也就是四棱柱的高，直接利用側(cè)面積公式及體積公式求解該四棱柱的側(cè)面積與體積；
（2）在平面ADD₁A₁內(nèi)過E作EF⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)可得EF⊥底面ABCD，連接BF后，則∠EBF為要求的線面角，然后通過求解直角三角形求出∠EBF的正切值，利用反三角函數(shù)可表示出要求的角．
解答：解：（1）根據(jù)題意可得：在 Rt△AA₁D中，
．
所以正四棱柱的側(cè)面積S=（2×3）×4=24．
體積V=2×2×3=12；
（2）如圖，

過E作EF⊥AD，垂足為F，連結(jié)BF，則EF⊥平面ABCD，
∵BE?平面ABCD，∴EF⊥BF
在 Rt△BEF中，∠EBF就是BE與平面ABCD所成的角
∵EF⊥AD，AA₁⊥AD，∴EF∥AA₁，
又E是A₁D的中點，∴EF是△AA₁D的中位線，
∴
在 Rt△AFB中，
∴．
∴．
點評：本題考查了柱體的側(cè)面積與體積，考查了線面角，解答此題的關(guān)鍵是利用面面垂直的性質(zhì)定理找到線面角，此題屬中檔題．