Question

在銳角△ABC中，已知f（A）=

[cos(π-2A)-1]sin(π+ A 2 )sin( π 2 - A 2 )

sin2( π 2 - A 2 )-sin2(π- A 2 )

．
（1）求f（A）的最大值；
（2）當(dāng)f（A）取得最大值時(shí)，A+B=

7π

12

，如果AC=

6

，求AB邊和BC邊的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，化簡(jiǎn)f（A），再由正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值；
（2）運(yùn)用正弦定理，及兩角和的正弦公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）f（A）=

[cos(π-2A)-1]sin(π+ A 2 )sin( π 2 - A 2 )

sin2( π 2 - A 2 )-sin2(π- A 2 )

=

(1+cos2A)sin A 2 cos A 2

cos2 A 2 -sin2 A 2

=

2cos2A• 1 2 sinA

cosA

=

1

2

sin2A，
∵角A為銳角，∴0＜A＜

π

2

，即0＜2A＜π，
∴當(dāng)2A=

π

2

時(shí)，f（A）取得最大值，其最大值為

1

2

；
（2）由（1）得：A=

π

4

，又A+B=

7π

12

，∴B=

π

3

，C=

5π

12

，
在△ABC中，AC=

6

，
由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

=

AB

sinC

，則有
AB=

AC•sinC

sinB

=

6 • 6 + 2 4

3 2

=1+

3

，
BC=

AC•sinA

sinB

=

6 • 2 2

3 2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查誘導(dǎo)公式和二倍角公式的運(yùn)用，考查正弦定理及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．