Question

15．已知M=ab+1，N=a+b，Q=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}$，a，b∈R．
（1）證明：當(dāng)a＞1，b＞1時(shí)，M＞N；
（2）若a+b=2，b＞0，求當(dāng)Q取最小值時(shí)a的值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a＞1、b＞1可知要證M＞N，只需證M²＞N²，即證a²b²+1＞a²+b²，即證a²（b²-1）＞b²-1，而這顯然成立；
（2）通過(guò)b＞0可知$\frac{|a|}$＞0，利用基本不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4|a|}$=$\frac{|a|}$時(shí)Q-$\frac{a}{4|a|}$取最小值，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a＞1、b＞1，
∴M=ab+1＞2，N=a+b＞2，
∴要證M＞N，只需證M²＞N²，
即證：（ab+1）²＞（a+b）²，
即證：a²b²+1＞a²+b²，
整理得：a²（b²-1）＞b²-1，
而這顯然成立，故M＞N；
（2）解：∵b＞0，
∴$\frac{|a|}$＞0，
∴Q=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}$=$\frac{a+b}{4|a|}$+$\frac{|a|}$=$\frac{a}{4|a|}$+$\frac{4|a|}$+$\frac{|a|}$，
∵$\frac{4|a|}$+$\frac{|a|}$≥2$\sqrt{\frac{4|a|}•\frac{|a|}}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4|a|}$=$\frac{|a|}$時(shí)取最小值，此時(shí)b²=4|a|²，
∴當(dāng)Q取最小值時(shí)a＜0，即b=-2a，
又∵a+b=2，
∴a-2a=2，即a=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．