Question

15．求y=$\sqrt{3+3x}$+$\sqrt{-3x+2}$的值域．

Answer 1

分析 設(shè)u=$\sqrt{3+3x}$，v=$\sqrt{-3x+2}$，可得u²+v²=5，令u=$\sqrt{5}cosθ，v=\sqrt{5}sinθ$換元，然后借助于三角函數(shù)中的輔助角公式化簡，則y=$\sqrt{3+3x}$+$\sqrt{-3x+2}$的值域可求．

解答 解：設(shè)u=$\sqrt{3+3x}$，v=$\sqrt{-3x+2}$，
則u²+v²=5，
令u=$\sqrt{5}cosθ，v=\sqrt{5}sinθ$（θ∈[0，$\frac{π}{2}$]），
則y=$\sqrt{5}（sinθ+cosθ）$=$\sqrt{10}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$θ+\frac{π}{4}∈$[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，
∴$\sqrt{10}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈[$\sqrt{5}，\sqrt{10}$]．
即y=$\sqrt{3+3x}$+$\sqrt{-3x+2}$的值域?yàn)?[\sqrt{5}，\sqrt{10}]$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的值域及其求法，考查了利用換元法求函數(shù)的值域，訓(xùn)練了三角函數(shù)中輔助角公式的應(yīng)用，屬難題．