Question

已知函數(shù)f（x）=2ln（x+1）+x²+ax．
（1）若a=0，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）圖象上任意一點P處切線的傾斜角α為銳角，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a=0代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到f′（1），再求得f（1），由直線方程的點斜式得答案；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分離參數(shù)a后利用基本不等式求最值，則實數(shù)a的取值范圍可求．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=2ln（x+1）+x²，
f′(x)=

2

x+1

+2x，則f′（1）=3．
又f（1）=2ln2+1，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-2ln2=3（x-1），
整理得：3x-y+2ln2-3=0；
（2）由f（x）=2ln（x+1）+x²+ax，得
f′(x)=

2

x+1

+2x+a（x＞-1），
∵f（x）圖象上任意一點P處切線的傾斜角α為銳角，
∴

2

x+1

+2x+a＞0，
即a＞-

2

x+1

-2x=-2[

1

x+1

+(x+1)-1]．
∵-2[

1

x+1

+(x+1)-1]≤-2．
∴要使f（x）圖象上任意一點P處切線的傾斜角α為銳角，則a的范圍是（-2，+∞）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，是中檔題．