【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)求證:當(dāng)時,關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解.(其中)
【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,, 的單調(diào)遞減區(qū)間為.在處取得極大值,在處取得極小值.
(Ⅱ)見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù),解方程,列出表格,確定的符號及的單調(diào)性,從而得出極大值和極小值;(Ⅱ)問題實質(zhì)上就是證明在上的最大值小于或等于1.因此本小題實質(zhì)就如第(Ⅰ)小題一樣,求在上的最大值即可(要注意函數(shù)在閉區(qū)間上的最值可能在區(qū)間端點處取得).
試題解析:(Ⅰ)
因為,
所以,
當(dāng)時,.
令,得,
所以隨的變化情況如下表:
極大值 | 極小值 |
所以在處取得極大值,
在處取得極小值.
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,, 的單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)證明:
不等式在區(qū)間上無解,等價于在區(qū)間上恒成立,
即函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于等于1.
因為,
令,得.
因為時,所以.
當(dāng)時,對成立,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,
所以不等式在區(qū)間上無解;
當(dāng)時,隨的變化情況如下表:
↘ | 極小值 | ↗ |
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為或.
此時,,
所以 .
綜上,當(dāng)時,關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某地區(qū)中學(xué)生的身體發(fā)育狀況,擬采用分層抽樣的方法從甲、乙、丙三所中學(xué)抽取個教學(xué)班進行調(diào)查.已知甲、乙、丙三所中學(xué)分別有, , 個教學(xué)班.
(Ⅰ)求從甲、乙、丙三所中學(xué)中分別抽取的教學(xué)班的個數(shù).
(Ⅱ)若從抽取的個教學(xué)班中隨機抽取個進行調(diào)查結(jié)果的對比,求這個教學(xué)班中至少有一個來自甲學(xué)校的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: 的長軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過右焦點作一條不與坐標(biāo)軸平行的直線,若交橢圓與、兩點,點關(guān)于原點的對稱點為,求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的左、右焦點分別為、,定點A(-2,0),B(2,0).
(1) 若橢圓C上存在點T,使得,求橢圓C的離心率的取值范圍;
(2) 已知點在橢圓C上.
①求橢圓C的方程;
②記M為橢圓C上的動點,直線AM,BM分別與橢圓C交于另一點P,Q,若, .求λ+μ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
()若曲線與直線相切于點,求點的坐標(biāo).
()令,當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間.
()當(dāng),證明:當(dāng), .
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