Question

19．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系；
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（II）設(shè)P（3cosθ，2sinθ），代入3x+4y=$\sqrt{145}$sin（θ+φ），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36得4x²+9y²=36，
化為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）設(shè)P（3cosθ，2sinθ），
則3x+4y=$9cosθ+8sinθ=\sqrt{145}sin（θ+φ）$，
∵θ∈R，∴當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，3x+4y的最大值為$\sqrt{145}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的極坐標(biāo)方程、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．