Question

19．證明：
（1）（x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（-2）ⁿ$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．
（2）（1+x）²ⁿ的展開式的中間一項(xiàng)是$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$（2x）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式T_r+1=${C}_{2n}^{r}$（-1）^rx^2n-2r，可求得（x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中常數(shù)項(xiàng)T_n+1=（-1）ⁿ•$\frac{（2n）!}{n!•n!}$，再利用排列數(shù)公式即可證得結(jié)論成立；
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可求得（1+x）²ⁿ的展開式的中間一項(xiàng)．

解答 解：（1）∵（x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=${C}_{2n}^{r}$（-1）^rx^2n-2r，
令2n-2r=0，得：n=r，
∴（x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中常數(shù)項(xiàng)是T_n+1=${C}_{2n}^{n}$（-1）ⁿ=（-1）ⁿ•$\frac{（2n）!}{n!•n!}$=（-2）ⁿ$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．
（2））∵（1+x）²ⁿ的展開式共有2n+1項(xiàng)，展開式的中間一項(xiàng)是：
T_n+1=${C}_{2n}^{n}$•xⁿ=$\frac{（2n）!}{n!•n!}$•xⁿ=$\frac{{2}^{n}（2n-1）（2n-3）…3×1•n!}{n!•n!}$=$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$（2x）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，著重考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式及排列數(shù)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．