Question

2．已知點（$\frac{5π}{12}$，0）是函數(shù)f（x）=（asinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$圖象的一個對稱中心．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值及取到最值時的對應x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由題意將點的坐標代入解析式求出a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到f（x）的解析式，由已知區(qū)間求出（2x$+\frac{π}{6}$）的范圍，利用利用正弦函數(shù)的有界性求最值．

解答 解：（Ⅰ） 由題意得f（x）=（asinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x…（2分）
∵f（x）關于點（$\frac{5π}{12}$，0）對稱，所以f（$\frac{5π}{12}$）=$\frac{a}{2}sin\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}cos\frac{5π}{6}$=0；…（5分）
解得a=$\sqrt{3}$．…（7分）
（Ⅱ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=sin（2x$+\frac{π}{6}$）；…（9分）
設a=2x+$\frac{π}{6}$，則a∈[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]；…（11分）
∴f（x）_min=f（-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{2}$；…（13分）
f（x）_max=f（$\frac{π}{6}$）=1．．…（15分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求sin（2x$+\frac{π}{6}$）；的最值．