Question

已知：在數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

4

，a_n+1=

1

4

a_n+

2

4n+1

．
（1）令b_n=4ⁿa_n，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，S_n+λna_n≥

5

9

對任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．所以b_n+1=b_n+2，所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由題設(shè)條件知b_n=1+2（n-1）=2n-1．再由b_n=4ⁿa_n，知a_n=

2n-1

4n

．再由錯(cuò)位相減法可求出S_n=

5

9

-

2

9

×

1

4n-1

-

2n-1

3

×

1

4n

．然后根據(jù)S_n+λna_n≥

5

9

對任意n∈N^*恒成立，可求出實(shí)數(shù)λ的最小值．

解答：解：（1）由a_n+1=

1

4

a_n+

2

4n+1

，
得4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．
所以b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2．
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以b_n=1+2（n-1）=2n-1．
因?yàn)閎_n=4ⁿa_n，
所以a_n=

2n-1

4n

．
則S_n=

1

4

+

3

42

+

5

43

+…+

2n-3

4n-1

+

2n-1

4n

．
又

1

4

S_n=

1

42

+

3

43

+

5

44

+…+

2n-3

4n

+

2n-1

4n+1

．
所以

3

4

S_n=

1

4

+2（

1

42

+

1

43

+

1

44

+…+

1

4n

）-

2n-1

4n+1

=

1

4

+2×

1 42 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

2n-1

4n+1

．
所以S_n=

5

9

-

2

9

×

1

4n-1

-

2n-1

3

×

1

4n

．
因?yàn)镾_n+λna_n≥

5

9

對任意n∈N^*恒成立，
所以

5

9

-

2

9

×

1

4n-1

-

2n-1

3

×

1

4n

+λ×

n(2n-1)

4n

≥

5

9

對任意n∈N^*恒成立．
即λ≥

8

9

×

1

n(2n-1)

+

1

3n

對任意n∈N^*恒成立
因?yàn)閚≥1，2n-1≥1，
所以

8

9

×

1

n(2n-1)

≤

8

9

，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號．
又因?yàn)?span id="3l494id" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

3n

≤

1

3

，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號．
所以

8

9

×

1

n(2n-1)

+

1

3n

≤

11

9

，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號
所以λ≥

11

9

，所以λ的最小值為

11

9

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用，認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．