Question

已知：在數(shù)列{a_n}中，a₁=，a_n+1=a_n+．
（1）令b_n=4ⁿa_n，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，S_n+λna_n≥對(duì)任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=a_n+，
得4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．
所以b_n+1=b_n+2，即b_n+1-b_n=2．
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）因?yàn)閿?shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以b_n=1+2（n-1）=2n-1．
因?yàn)閎_n=4ⁿa_n，
所以a_n=．
則S_n=+++…++．
又S_n=+++…++．
所以S_n=+2（+++…+）-
=+2×-．
所以S_n=-×-×．
因?yàn)镾_n+λna_n≥對(duì)任意n∈N^*恒成立，
所以-×-×+λ×≥對(duì)任意n∈N^*恒成立．
即λ≥×+對(duì)任意n∈N^*恒成立
因?yàn)閚≥1，2n-1≥1，
所以×≤，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)．
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/44504.png' />≤，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)．
所以×+≤，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)
所以λ≥，所以λ的最小值為．
分析：（1）由題設(shè)條件知4ⁿ⁺¹a_n+1=4ⁿa_n+2．所以b_n+1=b_n+2，所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由題設(shè)條件知b_n=1+2（n-1）=2n-1．再由b_n=4ⁿa_n，知a_n=．再由錯(cuò)位相減法可求出S_n=-×-×．然后根據(jù)S_n+λna_n≥對(duì)任意n∈N^*恒成立，可求出實(shí)數(shù)λ的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用，認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．