Question

設

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，若

a

-

b

=(-

12

13

，

5

13

)，θ為

a

與

b

的夾角，
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f(x)=2sin(θ-x)cos(θ-x)+2

3

sin2(θ-x)，求f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）由向量的坐標運算及向量相等的條件求得cos(α-β)=

1

2

，再由向量的夾角公式結合向量家教的范圍求得角θ的值；
（Ⅱ）由倍角公式降冪后化積，代入角θ的值，利用復合函數的單調性求解f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
由

a

-

b

=(-

12

13

，

5

13

)，
得

cosα-cosβ=- 12 13 sinα-sinβ= 5 12

，兩式平方相加得：2-2cos（α-β）=1，
∴cos(α-β)=

1

2

，
又cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

cosαcosβ+sinαsinβ

sin2α+cos2α • sin2β+cos2β

=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos（α-β）
=

1

2

．
∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

3

；
（Ⅱ）f(x)=2sin(θ-x)cos(θ-x)+2

3

sin2(θ-x)
=sin（2θ-2x）+

3

[1-cos(2θ-2x)]
=sin(2θ-2x)-

3

cos(2θ-2x)+

3

=-sin(2x-2θ)-

3

cos(2x-2θ)+

3

=-sin(2x-

2π

3

)-

3

cos(2x-

2π

3

)+

3

=-2sin(2x-

π

3

)+

3

．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z．
∴函數f（x）的單調增區(qū)間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z．

點評：本題考查了平面向量的坐標減法運算及數量積的運算，考查了三角函數的倍角公式，訓練了與三角函數有關的復合函數的單調性的求法，是中檔題．