Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）求a，b的值
（2）求f（x）在x∈[-3，3]的最值．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=3ax²+2bx-3，依題意，f'（1）=f'（-1）=0，解出即可．
（2）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其在區(qū)間[-3，3]的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依題意，f'（1）=f'（-1）=0，即$\left\{\begin{array}{l}3a+2b-3=0\\ 3a-2b-3=0.\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（2）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
若x∈（-1，1），則f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
∴f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值；
又f（3）=18，f（-3）=-18．
∴最大值與最小值分別為：f（3）=18，f（-3）=-18．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉在區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．