Question

已知函數(shù)f（x）=x²e^x-1-

1

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x³-x²，
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，
（2）設(shè)g（x）=

2

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x³-x²，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥g（x）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可證明不等式成立．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f'（x）=（e^x-1-1）（x²+2x）=x（x+2）（e^x-1-1）
令f'（x）=0，可得e^x-1-1=0或x²+2x=0，即x₁=-2，x₂=0，x₃=1
列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-		+		-		+
f（x）	↓		↑		↓		↑

由上表可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）和（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；在區(qū)間（-∞，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（II）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），
又設(shè)函數(shù)m（x）=e^x-1-x，x∈R，則m'（x）=e^x-1-1，
所以當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，m'（x）＜0，此時(shí)m（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，m'（x）＞0，此時(shí)m（x）為增函數(shù)，
因而m（x）≥m（1）=0恒成立（等號(hào)僅當(dāng)x=1處取得）
綜上，當(dāng)x=0或1時(shí)，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
當(dāng)x≠0，且x≠1時(shí)，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．
綜上：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及不等式的證明，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，最值的關(guān)系是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力．