Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求其公差d的值；
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，求數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，所以a_n+1+a_n=4n-3（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=2nd+（2a₁-d）=4n-3，由此能求出公差d的值．
（2）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為a₁，公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為a₂，公差為4的等差數(shù)列，從而得到an=

2n+1，n為奇數(shù) 2n-6，n為偶數(shù)

，由此能求出數(shù)列a_n的前100項(xiàng)的和．

解答： 解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
所以a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd，…1′
由a_n+1+a_n=4n-3（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=2nd+（2a₁-d）=4n-3．…2′
所以2d=4，2a₁-d=3，解得d=2，a₁=-

1

2

故其公差d的值為2．…5′
（2）由an+1+an=4n-3，n∈N*，得an+2+an+1=4n+1，n∈N*，
兩式相減，得a_n+2-a_n=4，n∈N^*．…6′
所以數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為a₁，公差為4的等差數(shù)列；…7′
數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為a₂，公差為4的等差數(shù)列．…8′
又由a₂+a₁=1，a₁=3，得a₂=-2．
所以a_2n-1=3+4（n-1）=4n-1，a_2n=-2+4（n-1）=4n-6，
故an=

2n+1，n為奇數(shù) 2n-6，n為偶數(shù)

．…11′
所以數(shù)列a_n的前100項(xiàng)的和為
S100=

50

2

(a1+a99)+

50

2

(a2+a100)
=25（3+199）+25（-2+194）=9850．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的公差的求法，考查數(shù)列的前100項(xiàng)的和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．