Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2．
（1）當(dāng)x∈（-

1

2

，+∞）時(shí)f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．
（2）當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．
（3）若x∈[

3

2

，+∞）時(shí)f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：區(qū)分圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，+∞）的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)在對(duì)稱軸兩邊的單調(diào)性，求最小值即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²
f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=a
為使f（x）≥a在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
只需f（x）在（-

1

2

，?+∞）上的最小值大于或等于a即可，
∴①a＜-

1

2

時(shí)，f（-

1

2

）最小，解得a＜-

1

2

；
 ②a≥-

1

2

時(shí)，f（a）最小，解

a≥- 1 2 f(a)=a2-2a2+2≥a

，解得-2≤a≤1，所以-

1

2

≤a≤1；
綜上所述a≤1；
（2）為使f（x）≥a在[-1，+∞）上恒成立，
只需f（x）在[-1，?+∞）上的最小值大于或等于a即可，
∴①a＜-1時(shí)，f（-1）最小，解得-3≤a＜-1
 ②a≥-1時(shí)，f（a）最小，解

a≥-1 f(a)=2-a2≥a

解得-1≤a≤1
綜上所述-3≤a≤1；
（3）為使f（x）≥a在[

3

2

，+∞）上恒成立，
只需f（x）在[

3

2

，?+∞）上的最小值大于或等于a即可，
∴①a＜

3

2

時(shí)，f（

3

2

）最小，即(

3

2

)2-3a+2≥a，解得a≤

13

16

，所以a≤

13

16

；
 ②a≥

3

2

時(shí)，f（a）最小，解

a≤ 3 2 f(a)=2-a2≥a

得無(wú)解；
綜上a≤

13

16

；
解得-1≤a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸左右單調(diào)性相反，從而確定函數(shù)最值，屬于基礎(chǔ)題，經(jīng)�？疾椋�