Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，證明：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n-1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．構(gòu)造函數(shù)g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，即e^x＞x，則1＞ln2，

1

2

＞ln(1+

1

2

)，

1

3

＞ln（1+

1

3

），…，

1

n

＞ln（1+

1

n

），累加再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可得證．

解答： （1）解：f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由題意a＞0，f′（x）=e^x-a，
由f′（x）=e^x-a=0，得x=lna．
當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
則f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增．
設(shè)g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1．
則g（a）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解為a=1，故a=1；
（2）證明：由（1）可知：當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，即e^x＞x，
即有e^nx＞xⁿ．
則（

1

n

）ⁿ＜e，（

2

n

）ⁿ＜e²，（

3

n

）ⁿ＜e³，…，（

n

n

）ⁿ＜eⁿ，
則（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n-1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ＜e+e²+e³+…+eⁿ=

e(1-en)

1-e

＜

e

e-1

故（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n-1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，同時(shí)考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．