Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：
①M(fèi)={（x，y）|y=

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x

}；�、贛={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log₂x}； ④M={（x，y）|y=e^x-2}；
⑤M={（x，y）|y=(x+y)

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}；其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（　　）

• A、①②③
• B、②④⑤
• C、①③④
• D、②③⑤

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用“垂直對(duì)點(diǎn)集”的概念對(duì)①②③④⑤五個(gè)選項(xiàng)，逐一分析驗(yàn)證即可得到答案．

解答： 解：對(duì)于①，y=

1

x

是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義；在另一支上對(duì)任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
對(duì)于②，M={（x，y）|y=sinx+1}，對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
對(duì)于③，M={（x，y）|y=log₂x}，取點(diǎn)（1，0），曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以集合M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
對(duì)于④，M={（x，y）|y=e^x-2}，如下圖紅線的直角始終存在，對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-1），則N（ln2，0），滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；正確．

對(duì)于⑤，M={（x，y）|y=(x+y)

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}，由y=(x+y)

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得y²=x+y（y≥0），整理得（y-

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）²=x（y≥0），對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，

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），則N（

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4

，0），滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
故答案為：②④⑤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查對(duì)新定義“垂直對(duì)點(diǎn)集”的理解與應(yīng)用，考查推理分析與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．