已知a，b，c∈（0，+∞），求證：(
a
a+b
)•(
b
b+c
)•(
c
c+a
)≤
1
8
．
考點：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：三次利用基本不等式，再變形相乘，即可得證．
解答： 證明：∵a，b，c∈（0，+∞），
∴a+b≥2
ab
＞0⇒
1
a+b
≤
1
2
ab
，
b+c≥2
bc
＞0⇒
1
b+c
≤
1
2
bc
，
a+c≥2
ac
＞0⇒
1
a+c
≤
1
2
ac
，
∴
a
a+b
•
b
b+c
•
c
c+a
≤
1
8
（當且僅當a=b=c時取等號）．
點評：本題考查基本不等式的運用，考查不等式的證明，正確運用基本不等式是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y∈R，向量
a
=（x，1），
b
=（1，y），
c
=（2，-4）且
a
⊥
c
，
b
∥
c
，則（
a
+
b
）•（
a
-
c
）=（　�。�
A、-3B、5C、-5D、15

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四面體ABCD中，O，E分別BD，BC的中點，AB=AD=
2
，CA=CB=CD=BD=2，則點E到平面ACD的距離（　�。�
A、
3
7
B、
21
7
C、
3
3
D、
21
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(x2，x+1)，
b
=(1-x，1)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）在x∈[0，2]的值域；
（2）若f（x）-t=0至少有兩個實數(shù)解，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，A點的坐標是（-3，0），重心G的坐標是（-
1
2
，-1），O為坐標原點，M為邊BC的中點，OM⊥BC，求：直線BC的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a，b，c，AD是BC邊上的高，且AD=BC
（Ⅰ）若B=C，求sinA的值；
（Ⅱ）求
c
b
+
b
c
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos2（x-
π
4
）-
3
cos2x+1，x∈[
π
4
，
π
2
]
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若對任意實數(shù)x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線L的傾斜角為45°，在y軸上的截距是2，拋物線y2=2px（p＞0）上一點P0（2，y0）到其焦點F的距離為3，M為拋物線上一動點，求動點M到直線L的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b是不相等的正常數(shù)，實數(shù)x，y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，并指出等號成立的條件；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=
2
x
+
1
1-2x
，x∈(0，
1
2
)的最小值，并指出此時x的值．

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