Question

直線L的傾斜角為45°，在y軸上的截距是2，拋物線y²=2px（p＞0）上一點P₀（2，y₀）到其焦點F的距離為3，M為拋物線上一動點，求動點M到直線L的距離的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),點到直線的距離公式

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件，求出直線L的方程和拋物線方程，再由點到直線的距離公式能求出動點M到直線L的距離的最小值．

解答： 解：∵直線L的傾斜角為45°，在y軸上的截距是2，
∴L的方程：y=x+2，即x-y+2=0…（3分）
∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點P₀（2，y₀）到其焦點F的距離為3，
∴由定義知：2+

P

2

=3，解得P=2，
∴拋物線的方程是：y²=4x．…（6分）
設(shè)M（x，y），則M到直線L的距離為
d=

|x-y+2|

2

=

| y2 4 -y+2|

2

=

|y2-4y+8|

4 2

=

(y-2)2+4

4 2

≥

2

2

，…（10分）
當(dāng)y=2時，“=”成立，此時M（1，2），
∴動點M到直線L的距離的最小值是

2

2

．…（12分）

點評：本題考查點到直線的最小值的求法，解題時要熟練掌握直線方程、拋物線方程的求法，是中檔題．