Question

16．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展開式中的二項式系數(shù)之和為2⁸，
（1）求n；
（2）求展開式各項系數(shù)的和；
（3）求展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值．
（2）在二項式中，令x=1，可得展開式各項系數(shù)的和．
（3）二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于$\frac{3}{2}$，求得r的值，可得展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項．

解答 解：（1）由題意二項式系數(shù)之和為2⁸，可得n=8．
 （2）令x=1，可得各項系數(shù)和為1，
（3）二項展開式的通項公式為 ${T_{k+1}}=C_8^k{（\sqrt{x}）^{8-k}}{（-\frac{2}{x^2}）^k}={（-1）^k}{2^k}C_8^k{x^{\frac{8-5k}{2}}}$，令8-5k=3，求得k=1，
故展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項為${T_2}=-2C_8^1{x^{\frac{3}{2}}}=-16{x^{\frac{3}{2}}}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．