Question

2．把實數(shù)a，b，c，d排成$（{\begin{array}{l}a&c\\ b&d\end{array}}）$的形式，稱為二行二列矩陣．對于點P（x，y），定義矩陣的一種運算$（{x，y}）（{\begin{array}{l}a&c\\ b&d\end{array}}）=（{ax+by，cx+dy}）$，并稱（ax+by，cx+dy）為點P在矩陣$（{\begin{array}{l}a&c\\ b&d\end{array}}）$作用下的點．給出下列命題：
①點P（3，4）在矩陣$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$作用下的點為（3，10）；
②曲線y=x²上的點在矩陣$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$的作用下將滿足方程y=-x²；
③方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{11}x+{a}_{12}y=_{1}}\\{{a}_{21}x+{a}_{22}y=_{2}}\end{array}\right.$可表示成矩陣運算（x，y）$（\begin{array}{l}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\end{array}）$=（b₁，b₂）；
④若曲線x²+4xy+2y²=1在$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{1}\end{array}）$作用下變換成曲線x²-2y²=1，則a+b=2．
其中真命題的序號為①④．（填上所有真命題的序號）

Answer 1

分析 ①（3，4）$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$=（3×1+4×0，3×2+4×1）=（3，10），從而判斷；
②設曲線y=x²上的點為（x₁，y₁），在矩陣$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$的作用下的點為（x，y）；則（x₁，y₁）$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$=（x₁，y₁）=（x，y）；從而判斷；
③（x，y）$（\begin{array}{l}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\end{array}）$=（xa₁₁+ya₂₁，xa₁₂+ya₂₂），從而判斷；
④x²+4xy+2y²=1可化為（x+2y）²-2y²=1；從而可得（x，y）$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{1}\end{array}）$=（x+2y，y）；從而求a，b；

解答 解：①∵（3，4）$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$=（3×1+4×0，3×2+4×1）=（3，10）；
∴點P（3，4）在矩陣$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$作用下的點為（3，10）是真命題；
②設曲線y=x²上的點為（x₁，y₁），在矩陣$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$的作用下的點為（x，y）；
則（x₁，y₁）$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$=（x₁，y₁）=（x，y）；
故滿足方程y=x²，
故②是假命題；
③（x，y）$（\begin{array}{l}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\end{array}）$=（xa₁₁+ya₂₁，xa₁₂+ya₂₂）；
故③是假命題；
④x²+4xy+2y²=1可化為（x+2y）²-2y²=1；
則（x，y）$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{1}\end{array}）$=（x+2y，y）；
故b=2，a=0；
即a+b=2；
故④是真命題；
故答案為：①④．

點評 本題考查了矩陣與變換的應用，屬于基礎(chǔ)題．