Question

12．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC，AB⊥AC，D，E分別是A₁C₁，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：C₁E∥平面DAB；
（Ⅱ）在線段A₁A上是否存在點(diǎn)G，使得平面BCG⊥平面ABD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明C₁E∥平面DAB；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷即可．

解答 證明：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)為F，連接DF，EF，
在△ABC中，E為BC的中點(diǎn)，
EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵D為A₁C₁的中點(diǎn)．A₁C₁∥AC，
∴EF∥DC₁，EF=DC₁，
即四邊形EFDC₁，是平行四邊形．
∴C₁E∥DF，
∵C₁E?平面DAB，DF?平面DAB，
∴C₁E∥平面DAB；
（Ⅱ）存在，G為A₁A的中點(diǎn)，連接BG，CG與AD交于M點(diǎn)，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴A₁A⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，AC?平面ABC，
∴A₁A⊥AB，A₁A⊥AC，
∵AA₁=AC，∴四邊形ACC₁A₁為正方形，
則Rt△AA₁D與Rt△CAG中，
AG=A₁D，AC=A₁A，
則Rt△AA₁D≌Rt△CAG，
∴∠GAD=∠ACG，
則△AGM與△GAC中，
∠AGM=∠CGA，∠GAD=∠ACG，
∴∠GMA=∠GAC=90°，即GC⊥AD，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，且AB⊥AC，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵CG?平面AA₁C₁C，∴AB⊥CG，
∵AB?平面ABD，AD?平面ABD，且AB∩AD=A，
∴CG⊥平面ABD，
∵CG?面BCG，∴平面BCG⊥平面ABD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面，平面和平面之間的垂直的判斷，要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)成立的條件相應(yīng)的判定定理．