Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（3，1），且圓心C在直線x-y-3=0上，過(guò)點(diǎn)P（0，1）且斜率為k的直線與圓C相交于不同的兩點(diǎn)．
（1）求圓C的方程，同時(shí)求出k的取值范圍；
（2）是否存在常數(shù)k，使得向量

OM

+

ON

與

PC

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：本題（1）可以利用弦的垂直平分線過(guò)圓心，求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的方程，再利用直線與圓相交，圓心C到直線的距離d小于半徑r，得到斜率k的取值范圍；（2）將向量共線條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再利用直線與圓的方程聯(lián)列的方程組，求出k的值，結(jié)合（1）的結(jié)論，判斷出k的存在性．

解答： 解：（1）∵A（2，0）和點(diǎn)B（3，1），
∴線段AB中點(diǎn)M(

5

2

，

1

2

)，斜率kAB=

1-0

3-2

=1，
∴線段AB的中垂線方程為y=-x+3．
∵圓心C在直線x-y-3=0上，
∴

y=-x+3 x-y-3=0

，
∴圓心C坐標(biāo)為（3，0）．
半徑r=|AC|=1，
∴圓C的方程為（x-3）²+y²=1．
∵直線y=kx+1與圓相交，
∴圓心C到直線的距離d小于半徑r．
∴

|3k+1|

1+k2

＜1，
∴-

3

4

＜k＜0．
∴圓心C坐標(biāo)為（3，0），-

3

4

＜k＜0．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

(x-3)2+y2=1 y=kx+1

，
得：（k²+1）x²+（2k-6）x+9=0，
∴x1+x2=

6-2k

k2+1

．
∵

OM

+

ON

=(x1+x2，y1+y2)，

PC

=(3，-1)，
∵

OM

+

ON

與

PC

共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（3，-1），
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0．
∴（3k+1）（x₁+x₂）+6=0，
k=-

3

4

．
由（1）可知k∈(-

3

4

，0)，
故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k，
直線不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)方程思想，直線與相交轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，向量共線轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)列方程組求出k的值．本題有一定的難度，屬于中檔題．